Biografia de Arquimedes

ARQUIMEDES

Arquimedes, filho de um astrônomo, foi o maior cientista e matemático da antiguidade. Estudou em Alexandria, onde seu professor Cônon havia sido, em seu tempo, aluno de Euclides. Regressou a sua cidade natal, provavelmente por causa das suas boas relações com o rei de Siracusa, Hierão II.

Hierão pediu ao seu brilhante amigo para determinar se uma coroa, que havia acabado de receber do ourives, era realmente de ouro, como deveria ser, ou se tratava de uma liga de prata.

Arquimedes foi intimado a realizar suas determinações sem estragar a coroa.

O físico não atinava como proceder até que um belo dia, entrando em uma banheira cheia, notou que a água transbordava. Repentinamente ocorreu-lhe que a quantidade de água transbordada era igual em volume à parte do corpo nela mergulhada. Raciocinou então que, se mergulhasse a coroa na água, poderia determinar seu volume pela subida do liquido. Poderia mais ainda: comparar este dado com o volume de um pedaço de ouro de igual peso. Se os volumes fossem iguais, a coroa seria de ouro puro. Se a coroa fosse feita de uma liga de prata (mais volumosa que o ouro), teria um volume maior.

Excitado ao mais alto grau pela sua descoberta do princípio de flutuabilidade, Arquimedes pulou para fora da banheira, e, completamente nu, correu pelas ruas de Siracusa até o palácio real aos gritos de Achei! Achei! (É preciso salientar que a nudez não perturbava tanto os gregos quanto a nós). Como Arquimedes falava grego, o que disse foi Eureka! Eureka! Esta expressão é usada desde então como exclamação apropriada ao prenúncio de uma descoberta. (A conclusão da história é de que a coroa incluía certa percentagem de prata, tendo sido o ourives executado).

Arquimedes também desenvolveu o princípio da alavanca. Demonstrou que um pequeno peso situado a uma certa distância do ponto de apoio da alavanca pode contrabalançar um peso maior situado mais perto, sendo assim peso e distância inversamente proporcionais. O principio da alavanca explica por que um grande bloco de pedra pode ser levantado por um pé de cabra.

Também calculou o valor de pi, obtendo um resultado melhor do que qualquer outro até então obtido no mundo clássico.

Demonstrou que o valor real se encontrava entre 223/71 e 220/70. Usou para esse fim o método que consiste em calcular as circunferências e os diâmetros de polígonos traçados dentro e fora do círculo. Ao acrescentarem-se lados ao polígono, este se aproxima cada vez mais do círculo, em tamanho e área. Poderíamos considerar que dois mil anos antes de Newton, este brilhante homem foi precursor do Cálculo Diferencial e Integral.

Mas Arquimedes não terminou os seus dias em paz. Sua fama maior é a de guerreiro. Hierão II mantinha um tratado de aliança com Roma e ele se manteve fiel. Após a sua morte, seu neto, Jerônimo, tomou o poder. Roma sofreu sua pior derrota em Canas e, durante certo tempo, pareceu prestes a ser esmagada, Jerônimo, desejoso de permanecer ao lado do vencedor aliou-se a Cartago. Mas os romanos ainda não estavam vencidos. Enviaram uma frota sob o comando do General Marcelo, contra Siracusa, dando inicio então a uma guerra de três anos, a que moveu a frota romana contra um único homem, Arquimedes.

Segundo a tradição, os romanos teriam tomado a cidade rapidamente, não fossem as armas engenhosas inventada pelo grande cientista. Teria construído grandes lentes destinadas a incendiar a frota, guindastes mecânicos para levantar os navios e vira-los de cabeça para baixo, etc. Ao fim da história, parece que os romanos não se atreviam a se aproximar dos muros da cidade, fugindo ao menor fio que sobre eles surgisse convencido que o temível Arquimedes os estava destruindo com invenções novas e monstruosas.

Durante o saque da cidade, Arquimedes, com um soberbo e erudito desdém para com a realidade, entregou-se a um problema matemático. Um soldado romano encontrou-o inclinado sobre uma figura geométrica desenhada na areia e ordenou-lhe que o acompanhasse. Arquimedes apenas respondeu por gestos: "Não perturbe meus círculos!”.

O soldado romano, aparentemente um homem prático, sem tempo para brincar, matou Arquimedes e seguiu em frente. Marcelo, que havia dado ordens para capturar Arquimedes com vida e para tratá-lo com distinção, lamentou sua morte e ordenou funeral condigno, tratando os parentes do grande homem com relativa suavidade.

Fonte: br.geocities.com

ARQUIMEDES

Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) foi um matemático e inventor grego, nascido em Siracusa, na Sicília. Foi o mais importante matemático da Antigüidade. Criou um método para calcular o número p (3,1415926535...; razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro) com aproximação tão grande quanto se queira.

Sua produção inclui Geometria Plana e Sólida, Astronomia, Aritmética, Mecânica e Hidrostática.

Quando jovem, estudou em Alexandria, o templo do saber da época, com os discípulos de Euclides. Embora na Antigüidade não houvesse clara distinção entre matemáticos (geômetras), físicos (cientistas naturais) e filósofos, Arquimedes destacou-se principalmente como inventor e matemático, sendo considerado um dos maiores gênios de todos os tempos.

Acreditava que nada do que existe é tão grande que não possa ser medido. Aperfeiçoou, pois, o sistema grego de numeração, criando uma notação cômoda para os números muito grandes, semelhante ao atual sistema exponencial. Suas invenções engenhosas, suas máquinas de caráter utilitário e bélico o fizeram memorável através dos séculos.

Arquimedes, no entanto, considerava seus engenhos mecânicos como fator episódico e que, de certa forma, tiravam a dignidade da ciência pura. "Sua mentalidade não era a de um engenheiro, mas sim, a de um matemático".

Em mecânica são atribuídas a ele algumas invenções tais como a rosca sem fim, a roda dentada, a roldana móvel, a alavanca. Alguns historiadores dizem que ele teria criado dispositivos como a máquina de Antikythera. Teria dito: “dê-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo”.

Foi morto acidentalmente por um soldado romano após a tomada de Siracusa durante a segunda guerra púnica. Dizem que, quando os soldados romanos invadiram a praia de Siracusa, encontraram um senhor - o próprio Arquimedes - desenhando círculos na areia. Sem imaginar que esse era o Gênio responsável pela criação das poderosas armas sicilianas, assassinaram Arquimedes.

Arquimedes: “Eureka, Eureka”

Em Física, no seu Tratado dos Corpos Flutuantes, estabeleceu as leis fundamentais da estática e da hidrostática. Um dos princípios fundamentais da hidrostática é assim enunciado: “todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre um empuxo vertical, dirigido de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado, e aplicado no centro de empuxo." O centro do empuxo é o centro de gravidade do volume que corresponde à porção submersa do corpo. Isto quer dizer que, para o objecto flutuar, o peso da água deslocada pelo objecto tem de ser maior que o próprio peso do objecto. Conseguindo solucionar tal problema enquanto se banhava, Arquimedes teria saído à rua, nu, gritando Eureka! Eureka! (Encontrei!) Essas pesquisas teriam o objetivo de responder a Hierão, rei de Siracusa, se sua coroa era realmente de ouro puro.

Criações bélicas

Na 2.ª Guerra Púnica, contra a poderosa razia do exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, Arquimedes criou aparatos, como:

catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas;
Durante quase três anos, as máquinas de guerra de sua invenção que lançavam dardos e pedras de até 150 quilogramas teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marco Cláudio Marcelo, general romano que sitiava Siracusa.

um enorme espelho (um jogo de lentes e espelhos) que conseguiu incendiar os navios romanos à distância, uma vez que refletiam os raios solares;
gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa;
Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes. Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu-lhe um cerco de 3 anos. Em 212 a.C. a cidade rendeu-se.

Criações matemáticas

No tratado Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para p:
No tratado “A Quadratura da Parábola”, Arquimedes demonstra que a área contida por uma parábola (Sp) e uma reta transversal é 4/3 da área do triângulo (S?) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base.
O tratado Sobre Espirais descreve a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares tem equação ?= k?) e pela primeira vez determina a tangente a uma curva que não seja o círculo.
De forma inédita, Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial, cerca de 19 séculos antes de Newton.

Outros inventos notáveis

Um mecanismo feito de tubos em hélice, fixos a um eixo inclinado com uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevar a água a um plano superior, conhecido como Parafuso de Arquimedes. É um processo rudimentar, mas que ainda é usado ao longo do rio Nilo. Posteriormente, na década de 1970, nos Países Baixos, foram desenvolvidas bombas do tipo Parafuso de Arquimedes movidas por motores elétricos para esgotamento dos polderes em substituição aos moinhos de vento.

Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Herão, tão suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendo apenas com sua mão a extremidade de um engenho que consistia em um bloco com polias e cordas.
Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante mecanismo hidráulico, com esferas móveis que representavam o Sol, a Lua e os cincos planetas conhecidos, podendo-se observar as fases e os eclipses da Lua. Enfim, um pequeno planetário.
Enfim, são tantos os feitos que Leibnitz se faz apropriado: “Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores".

Obras

Relação das principais obras de Arquimedes:

Do Equilíbrio dos Planos
Dos Flutuantes
O Arenário
Da Quadratura da Parábola
Da Esfera e do Cilindro
Da Medida do Círculo
Dos Conóides e Esferóides
Das Espirais
Lemas
Do Método Relativo aos Teoremas Mecânicos

Fonte: pt.wikipedia.org

ARQUIMEDES

Arquimedes deu grandes contribuições à matemática teórica. Além disso, é famoso por aplicar a ciência à vida diária. Por exemplo, descobriu o princípio que leva seu nome enquanto se banhava. Também desenvolveu máquinas singelas como a alavanca ou o parafuso, e aplicou-as a usos militares e de irrigação.

Arquimedes (287-212 a.C.), famoso matemático e inventor grego. Escreveu importantes obras sobre geometria plana e espacial, aritmética e mecânica.

Nasceu em Siracusa, na Sicília, e estudou em Alexandria, no Egito. Antecipou-se a muitas das descobertas da ciência moderna no campo da matemática pura, como o cálculo integral, com seus estudos sobre áreas e volumes de figuras sólidas curvas e sobre as áreas de figuras planas. Demonstrou também que o volume de uma esfera equivale a dois terços do volume do cilindro que a circunscreve.

Em mecânica, definiu a lei da alavanca e é considerado o inventor da polia composta. Durante sua estada no Egito, inventou o "parafuso sem fim" para elevar o nível da água. Mas é conhecido principalmente por ter enunciado a lei da hidrostática, o chamado princípio de Arquimedes. Essa lei estabelece que todo corpo submerso em um fluido experimenta perda de peso igual ao peso do volume do fluido que o corpo desloca.

Diz-se que essa descoberta foi feita enquanto o matemático se banhava e meditava sobre um problema que lhe fora apresentado pelo rei: como distinguir uma coroa de ouro puro de outra que contivesse prata. Observando o deslocamento e transbordamento da água à medida que seu corpo submergia, concluiu que se a coroa, ao submergir, deslocasse quantidade de água equivalente a seu peso em ouro, isto significaria que não continha outro metal. Conta-se que ficou tão entusiasmado que saiu nu para a rua gritando heureka, palavra grega que significa "achei".

Arquimedes passou a maior parte de sua vida na Sicília, em Siracusa e arredores, dedicado à pesquisa e aos experimentos. Embora não tivesse nenhum cargo público, durante a conquista da Sicília pelos romanos pôs-se à disposição das autoridades e muitos de seus instrumentos mecânicos foram utilizados na defesa de Siracusa. Entre os aparatos de guerra cuja invenção lhe é atribuída está a catapulta e um sistema de espelhos (talvez lendário) que incendiava as embarcações inimigas ao focá-las com os raios de sol.

Durante a conquista de Siracusa, na segunda Guerra Púnica, foi assassinado por um soldado romano que o encontrou desenhando um diagrama matemático na areia. Conta-se que Arquimedes estava tão absorto em suas operações que ofendeu o intruso ao dizer-lhe: "Não desmanche meus diagramas". Muitas de suas obras sobre matemática e mecânica foram preservadas, entre elas o Tratado dos corpos flutuantes, Arenário e Sobre o equilíbrio dos planos.

Alavanca, máquina simples que consiste normalmente em uma barra rígida móvel em torno de um ponto fixo, denominado fulcro ou ponto de apoio. O efeito de qualquer força aplicada à alavanca faz com que esta gire em relação ao fulcro. A força rotativa é diretamente proporcional à distância entre o fulcro e a força aplicada.

No tipo mais comum de alavanca, aplica-se um esforço relativamente pequeno à ponta mais distante do fulcro, para levantar um grande peso próximo a este. Muitas ferramentas, como o quebra-nozes e o carrinho de mão, são baseadas no princípio da alavanca.

Polia, dispositivo mecânico de tração ou elevação, formado por uma roda montada em um eixo, com uma corda rodeando sua circunferência. A roda e seu eixo podem ser considerados tipos especiais de alavanca. Com um sistema de polias móveis (também chamado cadernal), é possível levantar grandes pesos com muito pouca força.

O segundo princípio importante da estática dos fluidos foi descoberto por Arquimedes. O princípio de Arquimedes afirma que todo corpo submerso num fluido experimenta uma força para cima igual ao peso do fluido deslocado por aquele corpo. Isso explica como um navio pesado consegue flutuar. Também permite determinar a densidade de um objeto cuja forma seja tão irregular que seu volume não possa ser medido diretamente.

Mecânica de fluidos, parte da física que se ocupa da ação dos fluidos em repouso ou em movimento, assim como das aplicações e mecanismos de engenharia que os utilizam. A mecânica de fluidos é fundamental em campos tão diversos como a aeronáutica (ver Avião), a engenharia química, civil e industrial, a meteorologia, a construção naval (ver Navios e construção naval) e oceanografia.

Pode ser subdividida em dois campos principais: a estática dos fluidos, ou hidrostática, que se ocupa de fluidos em repouso, e a dinâmica de fluidos, que trata de fluidos em movimento. O termo "hidrodinâmica" aplica-se ao fluxo de líquidos ou ao fluxo de gases a baixa velocidade em que o gás é essencialmente incompressível. A hidráulica lida principalmente com a utilização da pressão da água ou do óleo em engenharia.

Entre as aplicações da mecânica de fluidos estão a propulsão a jato, as turbinas, os compressores e as bombas (Ar comprimido).

ESTÁTICA DOS FLUIDOS

Uma característica fundamental de qualquer fluido em repouso é que a força exercida sobre qualquer partícula do fluido é a mesma em todas as direções. Esse conceito é conhecido como lei de Pascal. Quando a gravidade é a única força que atua sobre um líquido colocado num recipiente aberto, a pressão em qualquer ponto do líquido é diretamente proporcional à profundidade do ponto, e é independente do tamanho ou forma do recipiente.

DINÂMICA DE FLUIDOS

Lida com as leis dos fluidos em movimento. O primeiro avanço importante foi feito por Evangelista Torricelli, que relacionou a velocidade de saída de um líquido pelo orifício de um recipiente com a altura do líquido situado acima de tal orifício (teorema de Torricelli). O grande avanço seguinte no desenvolvimento da mecânica de fluidos teve que aguardar a formulação das leis do movimento pelo matemático e físico inglês Isaac Newton. Essas leis foram aplicadas aos fluidos pelo matemático suíço Leonhard Euler. Ele foi o primeiro a reconhecer que as leis da dinâmica de fluidos só podem expressar-se de forma relativamente simples se se supõe que o fluido é incompressível e ideal, isto é, se se pode ignorar os efeitos do atrito e a viscosidade. Mas como esse nunca é o caso de fluidos reais em movimento, os resultados de tal análise só podem servir como uma estimativa para os fluxos em que os efeitos da viscosidade são pequenos. Tais fluidos seguem os princípios do teorema de Bernoulli.

As leis da mecânica dos fluidos podem ser observadas em muitas situações cotidianas. Por exemplo, a pressão exercida pela água no fundo de um tanque é igual à exercida pela água no fundo de um tubo estreito, desde que a profundidade seja a mesma. Se um tubo comprido cheio de água for inclinado, de forma que sua altura máxima seja de 15 m, a pressão será a mesma que nos outros casos (esquerda). Num sifão (direita), a força hidrostática faz com que a água flua para cima, por sobre a borda, até que se esvazie o cubo ou se interrompa a sucção.

Fonte: www.vestibular1.com.br

ARQUIMEDES

Imagine-se andando tranquilamente por uma rua, quando de repente sai correndo de uma casa um homem nu e molhado gritando EURECA, EURECA (achei, em grego).

Isto aconteceu em Siracusa, uma colônia grega, há mais de 2200 anos atrás, e o nome do maluco em questão era Arquimedes. Que na verdade era um gênio. Foi julgado como arruaceiro. Mas apos longos debates, os juizes da cidade resolveram absolve-lo, pois ele havia descoberto algo realmente importante. Havia formulado o princípio que permite aos barcos flutuarem: "Qualquer corpo mais denso que um fluido, ao ser mergulhado neste, perde peso correspondente ao volume de fluido deslocado.

Foi uma pessoa extremamente criativa, fisico, matemático, astrônomo e inventor dos mais competentes. Arquimedes desenvolveu métodos para determinar areas e volumes. Seus métodos anteciparam o calculo integral, 2000 anos antes de ter sido "inventado" por Newton e Leibniz.
Arquimedes também provou que o volume de uma esfera corresponde a dois terços do volume do cilindro circunscrito.

Evidentemente ele considerou este como seu maior feito, pois pediu que sua lápide tivesse uma esfera circunscrita por um cilindro. Calculou ainda com boa aproximação o numero PI. Formulou com exatidão cientifica os principios da alavanca, da roldana e do parafuso. Formulou teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas e sólidos. Foi dele a celebre frase "De-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo". Entre as suas memoraveis invenções contam-se a roldana composta, o parafuso tubular para bombear água, as lentes convexas e um planetário. Desenhou catapultas, com as quais Siracusa defendeu-se dos romanos.

Depois de uma guerra prolongada, os romanos finalmente conquistaram Siracusa. O general romano mandou que poupassem a vida de Arquimedes, que tanto ajudou na defesa da cidade com os seus inventos, destruindo inumeros navios romanos. Mas quando sua casa foi invadida pelos soldados, ele estava tão concentrado em seu trabalho que não percebeu de imediato. E então pediu ao soldado para que não estragasse seus desenhos. A serenidade do sábio foi demais para o soldado. Com um golpe de espada terminava uma das mais brilhantes carreiras científicas.

Fonte: www.arqmed.com.br

ARQUIMEDES

Um problema preocupava Hierão, tirano de Siracusa, no século III a.C.: havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade, mas suspeitava que o ourives o enganara, não utilizando ouro maciço em sua confecção. Como descobrir, sem danificar o objeto, se seu interior continha uma parte feita de prata? Só um homem talvez conseguisse resolver a questão: seu amigo Arquimedes, famoso matemático e inventor de vários engenhos mecânicos. Hierão mandou chamá-lo e pediu-lhe urna resposta que pusesse fim à sua dúvida. Arquimedes aceitou a incumbência e pôs-se a procurar a solução para o problema. Esta lhe ocorreu durante o banho. Observou que a quantidade de água que se elevava na banheira, ao submergir, era equivalente ao volume de seu próprio corpo. Ali estava a chave para resolver a questão proposta pelo tirano. No entusiasmo da descoberta, Arquimedes saiu nu pelas ruas, gritando: Eureka! Eureka! ("Achei! Achei!").

Agora, bastava aplicar o método que descobrira. Mediu então a quantidade de água que transbordava de um recipiente cheio, quando nele mergulhava, sucessivamente, o volume de um peso de ouro igual ao da coroa, o volume de um peso de prata igual ao da coroa e o volume da própria coroa. Este, sendo intermediário aos outros dois, permitia determinar a proporção de prata que fora misturada ao ouro.

Essa passagem parece ser uma das muitas lendas que, desde a Antiguidade, envolveram a vida de Arquimedes. Na verdade, para resolver um problema daquele tipo, relativo à determinação do peso específico de um metal, ele precisava apenas aplicar o princípio que rege o fenômeno do empuxo (força vertical que empurra para cima um corpo imerso em um fluido). Esse princípio - que explica porque um navio flutua na água e porque um aeróstato sobe no ar - foi estabelecido por Arquimedes nos seus dois livros, Sobre os corposflutuantes, com os quais inaugurou um novo ramo da ciência física: a hidrostática. No primeiro daqueles dois livros, ele enuncia o princípio que se tornou conhecido como "princípio de Arquimedes": "Um sólido mais pesado que o fluido em que está imerso vai para o fundo do fluido, e se é pesado dentro do fluido ele será mais leve que seu verdadeiro peso, de um peso igual ao fluido deslocado".

Entretanto, essa conclusão não era, de modo algum, fruto de um súbito "estalo". Representava o coroamento de uma longa tradição científica que, desde o século VI a.C., desenvolvera as pesquisas matemáticas e buscava uma explicação racional para os diferentes fenômenos observados. A glória de Arquimedes consistiu, porém, em não apenas fazer avançar as matemáticas abstratas - ampliando as conquistas dos grandes matemáticos do passado, como Pitágoras, Tales, Árquitas de Tarento, Eudoxo e Euclides -, mas em ser igualmente um grande físico, engenheiro e técnico genial: inventava e fabricava aparelhos destinados às suas próprias pesquisas, e criava inclusive máquinas de guerra temíveis por sua efícácia. Representando o apogeu da ciência grega, é considerado o precursor do método experimental nas ciências fisico-matemáticas.

(Parafuso de Arquimedes)

Filho do astrônomo Fídias, Arquimedes nasceu em 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que então fazia parte da Grécia ocidental ou Magna Grécia. Embora os dados fantasiosos permeiem todos os informes sobre sua vida, parece certo que estudou em Alexandria (Egito), um dos grandes centros culturais da época. Ali teria conhecido Euclides, já velho, e seus discípulos imediatos; e o matemático Canon de Samos, de quem se tornou amigo. Não é certo, porém, que ali tivesse criado o chamado "parafuso de Arquimedes", empregado para retirar água das minas do Egito. Na verdade, esse aparelho já existia, ao que parece, há bastante tempo, sendo utilizado para tirar água do Nilo.

Reduzindo o equilíbrio de forças a um simples problema geométrico, estudou o equilíbrio dos sólidos, o funcionamento da alavanca e o movimento dos corpos celestes, além de ter organizado uma coleção - a mais completa da Antiguidade - de figuras planas com os centros de gravidade perfeitamente localizados. Além disso, também procurava utilidades práticas para suas descobertas. Extraordinário engenheiro, construiu, segundo depoimento de Cícero (106 - 43 a.C.), um planetário que reproduzia os diferentes movimentos dos corpos celestes; e um aparelho para medir as variações do diâmetro aparente do Sol e da Lua, um protótipo do modelo, mais requintado, que será construído pelo astrônomo Hiparco, no século II a.C.

(Espelhos curvos queimam navios romanos)

Atribui-se ainda a Arquimedes a idealização dos célebres "espelhos ustórios" (ustório = que queima, que facilita a combustão), espelhos curvos com os quais os defensores de Siracusa teriam queimado a distância - pela concentração dos raios solares - os navios romanos que sitiavam a região. Se tal fato pertence ao lado lendário de sua biografia, parece entretanto não haver dúvida de que Arquimedes, depois de colaborar com seus engenhos bélicos para a defesa de sua cidade natal, foi morto durante o massacre que se seguiu à tomada de Siracusa pelo cônsul romano Marco Cláudio Marcelo, em 212 a.C. Atendendo a um pedido do sábio, foi colocada em seu túmulo uma coluna na qual fora gravado um cilindro circunscrito a uma esfera, para comemorar a maneira pela qual calculou a área de uma superfície esférica.

Segundo consta, Arquimedes teria dito a Hierão: "Dêem-me um ponto de apoio e eu levantarei a Terra". Não era a pretensão de se comparar ao mitológico e super humano Héracles - que os romanos chamarão de Hércules -, divindade símbolo da força. Era a certeza matematicamente garantida - de que o princípio da alavanca, que ele havia estabelecido, representava extraordinário recurso prático para a multiplicação de uma força.

(Página do Tratado da quadratura da parábola)

Tradicionalmente, a geometria grega vinha investigando processos de transformação de figuras curvas em retas, equivalentes. A quadratura do círculo, por exemplo, constituía um problema que vários matemáticos procuraram resolver. Arquimedes dedicou-se profundamente a esse tipo de questão - e um dos seus principais livros sobre Matemática intitulou-se justamente Tratado da quadratura da parábola.

A transformação do curvilíneo em retilíneo é feita por Arquimedes através do chamado método "de exaustão". Se um triângulo é inscrito num círculo, sua área é tão claramente menor que a do círculo quanto a do triângulo circunscrito é maior. No entanto - eis o procedimento adotado por Arquirnedes - multiplicando-se o número de lados dessas figuras, as áreas dos polígonos formados, inscritos e circunscritos, já se aproximam mais da área do círculo. E com o multiplicar sucessivo dos lados, os polígonos assim formados apresentam áreas que crescem (para os inscritos) e diminuem (para os circunscritos), aproximando-se da do círculo, embora nunca coincidam com ela.

Arquimedes conseguiu ir multiplicando o número de lados dos polígonos até obter figuras de 96 lados; verificou que as áreas respectivas, apesar de cada vez mais próximas do círculo, eram sempre um pouco maiores ou um pouco menores. Havia aqui também um procedimento que subentendia a aproximação de um valor exato - a área do círculo; esta era um "limite" a ser atingido, uma "justa medida" que só permitia abordagens aproximadas.

O que estava implícito nesse método de resolução de um problema geométrico era - como no caso do estabelecimento do valor de "pi" - a existência de valores infinitesimais, que justificavam a gradativa variação de tamanhos e grandezas. Aqui também Arquimedes antecipa conquistas que a Matemática só efetivará plenamente no final do século XVII, com o cálculo infinitesimal de Leibniz e Newton.

A liberdade não era, porém, patrimonio de todos os gregos. Muitos eram escravos e, por isso, destituídos do direito de cidadania. O filósofo Aristóteles chega a afirmar que para alguns a escravidão era um fato natural e inerente à natureza dos indivíduos que, não possuindo certas capacidades. intelectuais de raciocínio abstrato (a "alma poética" para os gregos), deviam, como escravos, se ocupar apenas de atividades manuais.

Esse preconceito que, com raras exceções, era generalizado na sociedade escravista dos gregos, não poderia deixar de repercutir, além do campo propriamente político, no desenvolvimento da investigação científica e filosófica. O menosprezo pelas atividades manuais, exercidas por homens sem liberdade, foi certamente o fator decisivo para restringir a ciência grega ao nível quase exclusivamente teórico e para impedir o desenvolvimento da experimentação. A ciência deveria ser fruto do intelecto de homens livres e, portanto, capazes de especulação - e não o resultado de simples manipulações e experiências.

Poucos escaparam às limitações desse modo de pensar, que criava obstáculos à verificação empírica e bloqueava o campo das aplicações práticas dos conhecimentos teóricos. O próprio Arquimedes pagou tributo, ao que parece, a esse preconceito de natureza sócio-econômica. Embora precursor do moderno método experimental, e apesar de ter sido o maior engenheiro da Antigüidade, também ele considerava como suprema realização da inteligência humana as verdades científicas abstratas - que as matemáticas formulavam plenamente. Conta Plutarco que, quando solicitado a escrever um manual de engenharia, Arquimedes se negou, alegando que "considerava o trabalho de engenheiro, assim como tudo o que dissesse respeito às necessidades da vida, como algo sem nobreza e vulgar". Ele desejava que sua fama diante da posteridade fosse fundada inteiramente em sua contribuição à teoria pura. O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de "pi" por aproximações sucessivas, foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade.

Fonte: geocities.yahoo.com.br

ARQUIMEDES

Matemático e físico grego. Na sua biografia é difícil destrinçar a realidade da lenda. Quando jovem muda-se para Alexandria, onde continua as aulas de Euclides. De volta à sua pátria, entrega-se por completo aos estudos científicos. Quando os Romanos atacaram Siracusa, Arquimedes dirige a defesa da sua cidade, para o que se serve de máquinas de guerra (catapultas, etc.). Após um longo assédio, as tropas de Marcelo entram na cidade. Segundo Plutarco, apesar das ordens de Marcelo para respeitar a vida do sábio, um soldado romano, irritado porque Arquimedes, absorto na resolução de um problema, não responde às suas intimações, mata-o. Cícero, questor da Sicília, encontra o seu túmulo, onde figura uma esfera inscrita num cilindro.

São bastantes as obras de Arquimedes que chegam até aos nossos dias. Entre as de tema matemático destacam-se Da Esfera e do Cilindro, A Medida do Círculo, Dos Esferóides e dos Conóides e Das Linhas Espirais. Entre as obras de mecânica há que citar Do Equilíbrio dos Planos e Dos Corpos Flutuantes. Obras menores, mas que também proporcionam achados importantes, são A Quadratura da Parábola e O Método.

Há uma célebre anedota da Antiguidade relacionada com os estudos hidrostáticos de Arquimedes. Trata-se do chamado problema da coroa. Hiero, rei de Siracusa, encomenda uma coroa que paga como se fosse de ouro puro, mas posteriormente suspeita que o ourives fez mistura do ouro com prata. Arquimedes resolve o problema determinando o volume da coroa, para o que a submerge num recipiente completamente cheio de água e pesa de seguida o líquido derramado. Averigua assim a densidade da coroa e calcula a proporção de prata que o desleal ourives utiliza. Conta-se que Arquimedes inventa este procedimento quando, ao se introduzir num recipiente completamente cheio de água para se lavar, parte dela transborda. Sai então do banho a gritar Eureka! (que em grego significa «Achei!»). O clássico enunciado deste princípio, chamado de Arquimedes, é o seguinte: todo o corpo submergido num fluido experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.

Os seus principais achados pertencem aos campos da aritmética, mecânica e hidrostática. Determina a relação da circunferência com o diâmetro (o número pi), a quadratura da parábola, as propriedades das espirais, etc. Atribuem-se a Arquimedes a invenção do parafuso sem fim, da espiral ou parafuso de Arquimedes (aparelho para elevar água por meio de um tubo enrolado em hélice à volta de um cilindro giratório sobre o seu eixo), de diversas combinações de roldanas para levantar pesos, da roda dentada... Formula também a teoria da alavanca simples, resumida numa frase célebre: «Dai-me um ponto de apoio e levantarei a Terra

Fonte: www.vidaslusofonas.pt

ARQUIMEDES

Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje.

Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.

No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos...

... aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível.

De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.

Escreve Plutarco

... quando Arquimedes começou a manejar suas máquinas, ele de uma só vez atirou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis, e imensas massas de rocha que caíram com barulho e violência inacreditáveis, contra as quais nenhum homem poderia resistir em pé ...

Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse. Novamente citando Plutarco:

[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei - que não podia ser movido a não ser por muitos homens - carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.

Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.

As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje.

O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.

O livro 2 é inteiramente devotado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de parábola. Na Quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.

No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.

Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.

Em Sobre conóides e esferóides Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.

Sobre corpos flutuantes é o trabalho onde Arquimedes estabelece os princípios básicos da Hidrostática. Seu teorema mais famoso - que dá o peso de um corpo imerso em um líquido - chamado Princípio de Arquimedes, consta deste trabalho.

Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x1016 (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu pai) e Aristarco.

Há referências a outros trabalhos de Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. Pappus também menciona um tratado sobre balanças e alavancas, e Theon menciona um tratado sobre espelhos.

Arquimedes foi morto em 212 AC durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica, depois que todos seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra falharam.

Fonte: www.ime.unicamp.br

ARQUIMEDES

HISTÓRIAS DE ARQUIMIDES

Imagina-te a andar por uma rua, quando, de repente, sai a correr de uma casa um homem nu e molhado a gritar Eureka, Eureka! Isto aconteceu em Siracusa, uma colônia grega, há mais de 2200 anos atrás, e o nome do «maluco» em questão era Arquimedes. Na realidade, a descoberta fez dele um gênio. Foi julgado nos tribunais gregos como um arruaceiro, mas, após vários e longos debates, os juizes da cidade resolveram absolvê-lo, pois ele havia descoberto algo realmente importante.

Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.

Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos. Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios científicos e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.

Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.

Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.

Podemos enunciar este Princípio em duas partes:

Todo o corpo submerso em qualquer líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.

O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume delíquido igual ao volume submerso do corpo.

Arquimedes também inventou a balança, que tem seu nome, e foi o primeiro a determinar
as leis do equilíbrio na balança.

De volta a Siracusa, dedicou toda a sua vida à pesquisa científica. Seu interesse cientifico foi herdado de seu pai que era um famoso astrônomo, Fídias. Isto influenciou, sem dúvida, na sua vocação e formação científica, sem contar que esteve em Alexandria, onde travou amizade com vários mestres alexandrinos.

As maiores contribuições de Arquimedes para a Matemática estão no âmbito da Geometria.
Seus métodos anteciparam o cálculo integral 2.000 anos antes de Newton e Leibniz.

Histórias de Plutarco, Lívio e outros descrevem máquinas inventadas por Arquimedes para
a defesa de Siracusa. Entre estas se incluem a catapulta, a polia combinada e a parede de fogo.

Arquimedes provou, entre muitos outros resultados geométricos, que o volume de uma esfera é
de dois terços do volume de um cilindro circunscrito. Ele considerava esta a sua descoberta mais significativa, pedindo ate mesmo que a representação do cilindro circunscrevendo uma esfera
fosse gravada em sua tumba.

Na produção de Arquimedes revela-se exclusivamente o investigador. Seus escritos são verdadeiras memórias científicas, trabalhos originais, nos quais se dá por conhecido todo oproduzido antes sobre o tema e apresentam-se elementos novos, próprios.

As principais obras de Arquimedes foram sobre:

Os conóides e os esferóides. - Refere-se aos sólidos que hoje designamos elipsóide derevolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.

As espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência.

A medida do círculo. - Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Aristóteles. Em uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema da quadratura do círculo.

Quadratura da Parábola. - Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola.

O Arenário. - Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos.

O equilíbrio dos planos. - É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.

Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - As bases científicas da hidrostática.
Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente de nosso conceitos atuais de cálculo integral.

O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série depeças poligonais que completam um retângulo. 11. O problema dos bois. - Um problema referente a teoria dos números

Seu fascínio pela Geometria é lindamente descrito por Plutarco.

Freqüentemente Arquimedes era levado ao banho contra sua vontade pelos seus servos, para lavá-lo e limpá-lo, e mesmo lá ele continuava desenhando figuras geométricas - mesmo entre as brasas das chaminés. E enquanto eles o estavam limpando e ungindo com óleos perfumados, ele desenhava linhas com o dedo sobre o óleo, completamente absorto, quase em estado de êxtase e transe, tal o prazer que tinha em estudar Geometria.

Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativos ao centro de gravidade das figuras planas e dos sólidos. Seu teorema mais famoso deduz o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado de "Princípio de Arquimedes".

A habilidade de Arquimedes com a mecânica, aliada ao seu conhecimento teórico o habilitaram a construir muitas máquinas engenhosas. Ele passou muito tempo no Egito, onde inventou um dispositivo conhecido como "Parafuso de Arquimedes". É na verdade uma bomba, ainda usada em muitas partes do mundo.

Uma das histórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", que vamos contar da seguinte maneira:

Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é
necessário assinalar a seguinte:

Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios.

Um dia em que Arquimedes, preocupado com este assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma.

Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava: Eureka! Eureka!, isto é, "encontrei! encontrei!". Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa: uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso.

Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e, depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso.

Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão.

Ele foi morto durante a tomada de Siracusa pelos romanos na segunda Guerra Púnica. Plutarco descreveu assim o episódio de sua morte:

"Conforme quis o destino, Arquimedes estava imóvel trabalhando em algum problema num diagrama, e estando com a mente e os olhos fixos no objeto de sua especulação, ele não percebeu a entrada dos Romanos nem que a cidade estava sendo tomada. Estando ele assim absorvido pelo estudo, um soldado inesperadamente veio até ele e ordenou que o acompanhasse.

Ele negou-se a ir até que tivesse resolvido seu problema; o soldado então desembainhou a espada e o matou."

Fonte: www.eduquenet.net